נישא שלוש פעמים. מנישואיו הראשונים הוא אב לבן. מנישואיו השניים, לשרי אנסקי, הוא אב לשניים: העיתונאית והבשלנית מיכל אנסקי והלל אנסקי. נישואיו השלישיים היו לחמוטל, שהייתה ראש לשכת המסחר ישראל-צרפת, ממנה התאלמן ב-2023.

משנות השבעים, הגיש במשך שנים רבות את תוכנית הבוקר "שבע אפס שבע" בגלי צה"ל, שלימים ירדה מהאוויר וחזרה במתכונת מחודשת בשנת 2001. לאחר מכן שידר את התוכנית בתחנות רדיו אזוריות. עד לשנת 2005, הגיש בערבי שבת את התוכנית "שעה היסטורית" עם ההיסטוריון מיכאל הרסגור. ניהל את מחלקת הקריינים של התחנה, והגיש לתקופה את התוכנית "קולה של אמא".

בעשור השני של המאה ה-21 הגיש אנסקי בגלי צה"ל תוכנית אישית אקטואלית בימי שישי ושבת. בינואר 2021 עזב את גלי צה"ל והצטרף לתחנת הרדיו כאן קול המוסיקה, שם הוא מגיש את התוכנית "שחרית אישית עם אלכס אנסקי".

במקביל הופיע אנסקי גם בתיאטרון,והשתתף בהצגות רבות בהבימה, הקאמרי, תיאטרון חיפה, תיאטרון באר שבע ותיאטרון במת השחקנים.

במשך השנים הנחה את העצרות המרכזיות בטקסי יום הזיכרון לשואה ולגבורה ב"יד ושם" בירושלים.

זכה בפרסים רבים: פרס זיו לעיתונות של צדק-מדות-מוסר; חמש פעמים בפרס מפקד גלי צה"ל; פרס אמ"י למפעל חיים (2008); יקיר העיר תל אביב (2019)